Логические задания на применение последовательности

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 60–62
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 34, 35, 123, 124
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 113–116, 118, 122–125, 127, 130, 132, 135, 138, 139, 142–145, 155, 156

Главное

• Последовательность — числа, записанные в определённом порядке; $a_n$ — член с номером $n$.
• Закономерность ищут по разности соседних членов, по их частному или по формуле от номера ($n^2$, $2^n$, $4n-3$).
• Арифметическая прогрессия: $a_n=a_1+(n-1)d$, $S_n=\dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.
• Геометрическая прогрессия: $b_n=b_1q^{n-1}$, $S_n=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$, при $q=1$ $S_n=nb_1$.
• Таблица непротиворечива, если сумма частот равна объёму, а сумма относительных частот — 1.

Теория

Поиск закономерности. Проверяют всю последовательность, а не два члена. $3,6,12,24$ — каждый член вдвое больше (не «+3»). $1,4,9,16,25$ — $a_n=n^2$; $0,3,8,15,24$ — $x_n=n^2-1$. Степени: $2,4,8,16,\dots$ — $2^n$; $1,\tfrac12,\tfrac14,\tfrac18$ — $2^0,2^{-1},2^{-2},2^{-3}$. Предыдущие члены находят обратным действием (вычитанием или делением). В формулу подставляют номер члена: $a_n=4n-3$ даёт $1,5,9,13,17$.

Арифметическая прогрессия (одинаковая добавка $d$).

• Каждый член (кроме крайних) — среднее арифметическое соседних.
• Номер члена $c$: решают $a_1+(n-1)d=c$; $n$ должно быть натуральным.
• $S_n=\dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n$.

Геометрическая прогрессия (одинаковый множитель $q\ne0$).

• $b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$; при $q>1$ удобнее $S_n=\dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$.

В текстовых задачах: движение с равномерно меняющейся скоростью — арифметическая прогрессия; рост вклада под проценты, вписанные друг в друга фигуры — геометрическая.

Проверка таблицы частот: сумма абсолютных частот $=$ объёму выборки; сумма относительных частот $=1$; если сумма $0{,}95$ — потеряны данные, если $1{,}1$ — что-то учтено дважды.

Примеры

1. …, 925, 900, 875, 850, … Найдите три предыдущих и три последующих члена. Разность $-25$: предыдущие $1000,975,950$; последующие $825,800,775$.
2. Каким по номеру членом прогрессии $7;15;23;\dots$ является 887? $d=8$: $887=7+8(n-1)\Rightarrow n=111$.
3. В прогрессии $216;200;184;\dots$ найдите $a_{27}$. $d=-16$: $a_{27}=216-26\cdot16=-200$.
4. Вклад 200 000 тг под 8% годовых (проценты начисляются на накопленную сумму). Сумма через 3 года? Геометрическая прогрессия с $q=1{,}08$: $200\,000\cdot1{,}08^3=251\,942{,}4$ тг.
5. Найдите $1+3+9+\dots+3^7$. $b_1=1$, $q=3$, $n=8$: $S_8=\dfrac{3^8-1}{2}=3280$.
6. В таблице частот объём выборки 12, а частоты $2,4,5$. Верна ли таблица? $2+4+5=11\ne12$ — противоречива, одно наблюдение потеряно.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Делают вывод о закономерности по двум членам; путают разность и частное.
• Предыдущие члены ищут сложением вместо вычитания.
• В формулу подставляют значение члена вместо номера.
• Пишут $a_n=a_1+nd$ или $b_n=b_1q^n$.
• В формуле суммы путают $a_n$ (последний член) и $n$ (число членов).
• При $q<0$ теряют отрицательный корень; применяют общую формулу суммы при $q=1$.
• Проверяют только абсолютные частоты и пропускают относительные.

Самопроверка

1. $3,9,27,81,\dots$ Пятый член? — $3^5=243$.
2. $a_1=5$, $d=3$. $S_{14}$? — $a_{14}=44$, $S_{14}=336$.
3. $4;2;1;\dots$ Найдите $b_6$. — $\tfrac18$.
4. $S_n=-93$, $b_1=-3$, $q=2$. Найдите $n$. — $2^n=32$, $n=5$.
5. Сумма относительных частот в таблице 0,95. Что это значит? — Не хватает 0,05 данных: таблица противоречива.