Логические задачи с геометрическим содержанием и нестандартные задачи с геометрическим

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 13
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 136, 137, 146–149, 165, 166, 169
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Геометрия. 7 класс», 7 класс, Атамура, 2025, с. 66, 70, 73–75
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 8 класс», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 64, 66, 68, 70

Главное

• Масштаб: расстояние на местности $=$ длина на карте $\cdot$ масштаб; длина на карте $=$ расстояние $:$ масштаб; единицы приводят к одним.
• Сумма углов треугольника $180^\circ$; $n$-угольника — $180^\circ(n-2)$; сумма внешних углов (по одному при вершине) — всегда $360^\circ$.
• Неравенство треугольника: каждая сторона строго меньше суммы двух других.
• Пифагор: $c^2=a^2+b^2$; удобен для перемещений в перпендикулярных направлениях.
• В нестандартной задаче перебирайте все случаи (какой угол дан в равнобедренном треугольнике).

Теория

Углы. Прямой — $90^\circ$, развёрнутый — $180^\circ$. Части угла обозначают через $x$ и составляют уравнение: $x+(x+50^\circ)=120^\circ$. Если дан угол от биссектрисы — весь угол вдвое больше. Если известны суммы пар углов ($\angle AOB+\angle BOC=220^\circ$, $\angle BOC+\angle COA=290^\circ$ и т. п.), складывают и учитывают, что каждый угол вошёл дважды.

Часы: минутная стрелка проходит $6^\circ$ в минуту, часовая — $30^\circ$ в час, т. е. $0{,}5^\circ$ в минуту.

Масштаб. «1 см = 200 км» или $1:100\,000$ (см к см: 1 см на карте — 1 км). Масштаб на всём чертеже один.

Треугольник. Третий угол: $180^\circ$ минус сумма двух. Углы в отношении $2:3:4$: $9k=180^\circ$, $k=20^\circ$ — $40^\circ,60^\circ,80^\circ$. Существование: сравнивают наибольшую сторону с суммой двух других; при равенстве треугольник вырождается в отрезок. Аналогично для отношений: $2:3:5$ невозможно, $2:3:4$ возможно.

Правильный многоугольник: угол $\dfrac{180^\circ(n-2)}n$ (пятиугольник $108^\circ$, шестиугольник $120^\circ$, восьмиугольник $135^\circ$), внешний угол $\dfrac{360^\circ}n$.

Теорема Пифагора: $c=\sqrt{a^2+b^2}$, $a=\sqrt{c^2-b^2}$. Применения: диагональ прямоугольника, сторона ромба по диагоналям (половинки диагоналей — катеты), лестница у стены, перемещения «на восток — на север».

Примеры

1. Который угол между стрелками в 1 ч 25 мин? Минутная $150^\circ$, часовая $30^\circ+12{,}5^\circ=42{,}5^\circ$; угол $107{,}5^\circ$.
2. Пешеход прошёл 500 м на запад, 300 м на север и 100 м на восток. На каком расстоянии он от начала? Смещения: $400$ м на запад и $300$ м на север; $\sqrt{400^2+300^2}=500$ м.
3. Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене, нижний конец в 3,5 м от стены. На какую высоту она достаёт? $\sqrt{12{,}5^2-3{,}5^2}=\sqrt{144}=12$ м.
4. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6, основание 15. Существует ли он? $6+6=12<15$ — нет.
5. В равнобедренном треугольнике один угол $40^\circ$. Найдите остальные. Если $40^\circ$ при вершине — $70^\circ,70^\circ$; если при основании — $40^\circ$ и $100^\circ$.
6. На карте с масштабом 1 см = 200 км отрезок 7,2 см. Расстояние на местности? $7{,}2\cdot200=1440$ км.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Забывают, что часовая стрелка движется и в течение часа.
• Умножают вместо деления (и наоборот) при работе с масштабом; не переводят единицы.
• Рассматривают только один случай в равнобедренном треугольнике.
• Принимают равенство $a=b+c$ за существование треугольника; проверяют не наибольшую сторону.
• В формуле многоугольника берут $180^\circ n$ вместо $180^\circ(n-2)$; путают внутренний и внешний угол.
• Складывают катеты вместо их квадратов; применяют Пифагора к непрямоугольному треугольнику.

Самопроверка

1. Стороны треугольника 7, 8, 15. Существует ли он? — Нет: $7+8=15$.
2. Внешний угол правильного шестиугольника? — $60^\circ$.
3. Диагонали ромба 6 и 8. Сторона? — 5.
4. Два угла треугольника $54^\circ$ и $86^\circ$. Третий? — $40^\circ$.
5. $\angle EKF=120^\circ$, $KN$ — биссектриса $\angle LKF$, $\angle NKF=37^\circ$. Найдите $\angle EKL$. — $\angle LKF=74^\circ$, $\angle EKL=46^\circ$.