Логические задачи на применение формулы площади и периметра геометрических фигур

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 63, 64, 68
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 12, 20, 21, 27
• Смирнов В. А., Туяков Е. А. «Геометрия. 8 класс», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 92–98, 100, 102–105
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, с. 54, 55

Главное

• Окружность: $C=2\pi R=\pi D$; круг: $S=\pi R^2$, $\pi\approx3{,}14$.
• Параллелограмм: $S=ah=ab\sin\alpha$; ромб: ещё $S=\dfrac{d_1d_2}2$.
• Треугольник: $S=\dfrac12ah=\dfrac12ab\sin\gamma$; $S=pr$ ($p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности).
• Трапеция: $S=\dfrac{a+b}2\cdot h$ — средняя линия на высоту.
• Если линейные размеры изменились в $k$ раз, площадь меняется в $k^2$, объём — в $k^3$ раз.

Теория

Окружность и круг. По длине окружности находят диаметр: $D=C:\pi$ (обод 62,8 см — $D=20$ см). Колесо за один оборот проходит $C=\pi D$ (при $D=0{,}5$ м — $\approx1{,}57$ м). Площадь круга радиуса $R$ в $\pi$ раз больше площади квадрата со стороной $R$. При удвоении радиуса площадь растёт в 4 раза.

Многоугольники.

Фигура	Площадь
параллелограмм	$ah$; $ab\sin\alpha$
ромб	$a^2\sin\alpha$; $\dfrac{d_1d_2}2$
треугольник	$\dfrac12ah$; $\dfrac12ab\sin\gamma$; $pr$
прямоугольный треугольник	половина произведения катетов
трапеция	$\dfrac{a+b}2h$

Логические свойства из материалов.

• При данных сторонах $a$ и $b$ наибольшую площадь $ab$ имеет параллелограмм с углом $90^\circ$ (прямоугольник).
• Квадрат и ромб с одной и той же стороной: у квадрата площадь больше ($a^2>a^2\sin\alpha$ при $\alpha\ne90^\circ$).
• У треугольника при постоянной площади высоты обратно пропорциональны сторонам: $h=\dfrac{2S}a$.
• Треугольник, отсекаемый средней линией, имеет площадь $\dfrac14$ исходного.
• Если диагонали трапеции перпендикулярны, её площадь равна квадрату высоты.

Прямоугольник: периметр — сумма длин всех сторон, $P=2(a+b)$; площадь $S=ab$. Квадрат: $S=a^2$.

Примеры

1. Из круга радиусом 10 см вырезали квадрат со стороной 10 см. Какая площадь осталась? $3{,}14\cdot100-100=214$ см².
2. Площадь трапеции 200 см², одно основание 26 см, высота 10 см. Второе основание? $a+b=\dfrac{2\cdot200}{10}=40$, второе основание $14$ см.
3. Основания трапеции 36 и 12 см, боковая сторона 7 см образует с основанием угол $150^\circ$. Площадь? Высота $7\sin30^\circ=3{,}5$ см; $S=\dfrac{36+12}2\cdot3{,}5=84$ см².
4. Площадь параллелограмма вдвое меньше площади прямоугольника с теми же сторонами. Острый угол? $ab\sin\alpha=\dfrac12ab\Rightarrow\sin\alpha=\dfrac12$, $\alpha=30^\circ$.
5. Стороны треугольника 3 и 8, угол между ними $30^\circ$. Площадь? Как изменится площадь, если угол станет $90^\circ$? $S=\dfrac12\cdot3\cdot8\cdot\dfrac12=6$; при $90^\circ$ — $12$, вдвое больше.
6. Ребро куба увеличили в 2 раза, затем уменьшили в 4 раза. Как изменился объём? $k=\dfrac24=\dfrac12$, объём уменьшился в $8$ раз.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Забывают множитель 2 в $C=2\pi R$; подставляют диаметр вместо радиуса; пишут $S=2\pi R$.
• Умножают соседние стороны параллелограмма без синуса угла.
• Забывают $\dfrac12$ в формуле треугольника и деление пополам в трапеции.
• Берут высоту не к той стороне; принимают боковую сторону трапеции за высоту.
• Считают площади квадрата и ромба с равными сторонами одинаковыми.
• Считают, что площадь меняется во столько же раз, что и сторона.

Самопроверка

1. $R=15$ м. Длина окружности? — $\approx94{,}2$ м.
2. Площадь треугольника 30, сторона 10. Высота к ней? — 6.
3. Ромб со стороной 6 и углом $150^\circ$. Площадь? — $36\cdot\tfrac12=18$.
4. Высота трапеции 20 см, площадь 400 см². Средняя линия? — 20 см.
5. Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз выросла площадь? — В 9 раз.