DAMOO

Математическая грамотность · ЕНТ 2026 · 04. Пространство и форма

Логические задачи на применение формулы площади поверхности геометрических тел

Начать тест

Чтобы пройти тест, нужно войти или зарегистрироваться.

Конспект

Учебниковая опора

Главное

  • Прямоугольный параллелепипед: 6 граней-прямоугольников, 12 рёбер, 8 вершин; противоположные грани равны.
  • Куб: все грани — равные квадраты; $S_{\text{пов}}=6a^2$, $V=a^3$.
  • Развёртка — плоская фигура из всех граней; её площадь равна площади поверхности. У куба 11 различных развёрток.
  • Поверхность — в см², объём — в см³.
  • Если рёбра изменились в $k$ раз, поверхность меняется в $k^2$, объём — в $k^3$ раз.

Теория

Параллелепипед $a\times b\times c$. Грани $ab$, $bc$, $ac$ — каждая дважды: $S=2(ab+bc+ac).$ Сумма длин всех рёбер $4(a+b+c)$. Для модели $3\times6\times4$ см: грани $18$, $24$, $12$ см², $S=2\cdot54=108$ см².

Куб. $S=6a^2$ ($a=3$ — 54, $a=5$ — 150). Каркас — $12a$ проволоки. Развёртка куба с ребром 2 см — 6 квадратов по 4 см², всего 24 см². Правильную развёртку проверяют мысленным сворачиванием: квадраты не должны накладываться. Язычки для склеивания в площадь поверхности не входят.

Изменение размеров. Ребро увеличили в 2 раза — поверхность в 4 раза, объём в 8 раз; ребро в 2 раза увеличили и затем в 4 раза уменьшили — итог $k=\tfrac12$.

Шар и сфера. Шар — тело, сфера — его поверхность; центр один, $D=2R$. Сечение шара плоскостью — круг (через центр — круг радиуса $R$).

Площади поверхностей

  • Призма: $S_{бок}$ — сумма площадей боковых граней; у прямой $S_{бок}=P_{осн}\cdot h$; $S_{полн}=S_{бок}+2S_{осн}$.
  • Пирамида: $S_{полн}=S_{осн}+S_{бок}$.
  • Цилиндр: $S=2\pi r(r+h)$. Конус: $S=\pi r(r+l)$. Шар: $S=4\pi r^2$.

Примеры

  1. Периметр грани куба 32 см. Найдите площадь поверхности и объём. Ребро $32:4=8$ см; $S=6\cdot64=384$ см²; $V=512$ см³.
  2. Сумма рёбер параллелепипеда $13\times8\times6$ см равна сумме рёбер куба. Ребро и объём куба? $4(13+8+6)=108$ см; ребро куба $108:12=9$ см; $V=729$ см³.
  3. Сумма всех рёбер параллелепипеда 112 см, $a+c=19$, $b+c=13$. Найдите измерения и площадь поверхности. $a+b+c=28$, $b=9$, $c=4$, $a=15$; $S=2(15\cdot9+9\cdot4+15\cdot4)=2(135+36+60)=462$ см².
  4. Модель куба с ребром 5 см склеили из картона. Сколько картона пошло без учёта язычков? $6\cdot25=150$ см².
  5. Ребро куба увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличились площадь поверхности и объём? В $9$ и в $27$ раз.

Типичные ошибки на ЕНТ

  • Путают число рёбер и вершин (рёбер 12, вершин 8).
  • Пишут $S=6a$ вместо $6a^2$; путают поверхность (см²) и объём (см³).
  • В параллелепипеде учитывают каждую грань один раз (забывают множитель 2); считают все грани равными.
  • Считают, что поверхность растёт во столько же раз, что и ребро.
  • Включают язычки для склеивания в площадь поверхности.
  • Называют шар сферой; путают радиус и диаметр.

Самопроверка

  1. Площадь поверхности куба с ребром 2 см? — 24 см².
  2. Сколько проволоки нужно на каркас куба с ребром 15 см? — 180 см.
  3. Ребро куба уменьшили в 2 раза. Как изменилась площадь поверхности? — Уменьшилась в 4 раза.
  4. Радиус Луны, если её диаметр 3476 км? — 1738 км.
  5. Площадь поверхности параллелепипеда $3\times6\times4$ см? — 108 см².

Другие темы этого раздела