Статистические таблицы, полигоны частот, гистограммы. Теория множеств и элементы логики

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 107, 108
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 127, 141–143
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 128–130
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 127, 128, 130, 131
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 1, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 75–79, 86–89, 91
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т. П., Корчевский В. Е., Жумагулова З. А. «Алгебра. 9 класс», часть 2, 9 класс, Мектеп, 2019, с. 107–111

Главное

• Полигон частот — ломаная через точки $(x_i;n_i)$ по возрастанию вариант; высшая точка — мода.
• Гистограмма — прямоугольники: ширина — интервал, высота — частота.
• Объём выборки = сумма частот; сумма относительных частот = $1$ ($100\%$).
• $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.
• «Или» — сложение, «и» — умножение.
• $P_n=n!$, $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$, $C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$; $P(A)=\dfrac mn$.

Теория

Таблицы и диаграммы частот. Относительная частота $W_i=\dfrac{n_i}n$ (можно в процентах). На полигоне по горизонтали — варианты, по вертикали — частоты; точки соединяют по возрастанию вариант, а не в порядке наблюдений. В гистограмме ширина прямоугольника равна длине интервала, высота — частоте; прямоугольники соседних интервалов примыкают друг к другу.

Что читают по таблице/диаграмме: сколько было наблюдений (сумма частот); пределы изменения величины; частоту интервала; самый частый интервал; сколько наблюдений «не менее/не более» значения — сумма соответствующих частот или «объём минус накопленная частота».

Множества. $A\cap B$ — пересечение, $A\cup B$ — объединение. Для трёх множеств $n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).$ «Только $A$» $=n(A)-n(A\cap B)$; если «только $A$» вышло отрицательным — ошибка в расчёте.

Комбинаторика. Малые задачи — перебором (по первой букве, затем по второй). Важен ли порядок? Да — размещения/перестановки; нет (отрезок $AB=BA$, партии в турнире) — сочетания.

Понятие	Формула	Пример
Перестановки	$P_n=n!$	4 кубика в ряд: $24$
Размещения	$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$	$A_6^3=120$
Сочетания	$C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$	$C_5^2=C_5^3=10$

Свойства: $C_n^k=C_n^{n-k}$; $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$; $\sum_{k=0}^nC_n^k=2^n$.

Вероятность. Для равновозможных исходов $P(A)=\dfrac mn$, где $n$ — все исходы, $m$ — благоприятные; $0\le P\le1$.

Примеры

1. 10 учащихся ходят в музыкальную школу, 17 — в спортивные секции, 2 — и туда, и туда. Сколько всего учащихся? $10+17-2=25$.
2. В олимпиадах по трём предметам участвовали 13, 12 и 10 человек; по двум предметам: 2, 3 и 5; по всем трём — 1. Сколько участников? $13+12+10-2-3-5+1=26$.
3. Купить 1 кг конфет (10 сортов) и 1 кг печенья (12 сортов): сколько вариантов? «И» — $10\cdot12=120$. А одного гуся у одного (4 гуся) или другого (6 гусей) продавца — «или»: $4+6=10$.
4. Из цифр 0, 1, 2, 3 (без повторов) сколько двузначных чисел? Сколько чётных? Всего $9$ (на первое место нельзя 0); чётные $10,12,20,30,32$ — $5$.
5. В классе 25 учащихся: 5 отличников и 12 ударников. Вероятность, что вызванный ученик — отличник или ударник? $\dfrac{17}{25}$.
6. Какова вероятность, что случайное двузначное число оканчивается нулём? Двузначных чисел $90$, оканчиваются нулём $9$; $P=\dfrac1{10}$.
7. По таблице: из 100 учащихся накопленная частота значения «190 слов» равна 55. Сколько читают не менее 190 слов? $100-55=45$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Складывают численности пересекающихся множеств без вычитания пересечения.
• Путают «или» и «и».
• Считают $AB$ и $BA$ разными отрезками; в сочетаниях забывают делить на $k!$.
• Допускают «число» с нулём в старшем разряде («03»).
• Соединяют точки полигона в порядке наблюдений; путают частоту и накопленную частоту.
• Применяют $\dfrac mn$ к неравновозможным исходам; получают вероятность больше 1.

Самопроверка

1. Туристы: казахский знают 10, русский — 8, оба — 3; каждый знает хотя бы один. Сколько туристов? — 15.
2. Сколько отрезков задают 5 точек на прямой? — $4+3+2+1=10$.
3. $C_x^2=28$. Найдите $x$. — $x=8$.
4. Какова вероятность выпадения простого числа очков на кубике? — $\dfrac36=\dfrac12$.
5. Частоты гистограммы 2, 3, 8, 5, 4, 3. Объём выборки? — 25.