Среднее арифметическое нескольких чисел, размах, медиана и мода ряда числовых данных

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 6 класс, Атамұра, 2018, с. 127, 133–136, 140
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 48, 79, 168, 170, 171

Главное

• Среднее арифметическое $=\dfrac{\text{сумма чисел}}{\text{количество чисел}}$.
• Размах $=x_{\max}-x_{\min}$ (разность, а не сумма).
• Медиана — число в середине упорядоченного ряда; при чётном количестве — среднее двух средних чисел.
• Мода — самое частое значение; мод может быть несколько или не быть вовсе.
• Средняя скорость = весь путь : всё время.

Теория

Алгоритм для ряда данных:

1. Расположить числа по возрастанию и сосчитать их количество $n$.
2. Размах: наибольшее минус наименьшее.
3. Медиана: при нечётном $n$ — число на месте $\dfrac{n+1}2$; при чётном — полусумма чисел на местах $\dfrac n2$ и $\dfrac n2+1$.
4. Мода: значение(я), встречающееся чаще всех.
5. Среднее: сумма $:n$.

Данные с частотами. Если значения повторяются, сумму считают как $\sum(\text{значение}\cdot\text{частота})$ и делят на число всех данных, а не на число различных значений. Оценки: «5» — 5 раз, «4» — 13, «3» — 10, «2» — 2; $n=30$, сумма $25+52+30+4=111$, среднее $3{,}7$; медиана — среднее 15-го и 16-го значений, т. е. $4$; мода $4$; размах $3$.

Проверка здравым смыслом: среднее и медиана лежат между наименьшим и наибольшим значением.

Средняя скорость. $v_{\text{ср}}=\frac{s_1+s_2+\dots}{t_1+t_2+\dots}$ Среднее арифметическое скоростей совпадает с ней лишь при равных временах движения.

Примеры

1. Температура за сутки (каждые 2 ч): 0, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 12, 10, 7, 5, 3. Найдите среднее, размах, медиану и моду. Сумма $76$, $n=12$, среднее $\approx6{,}3$; размах $13$; упорядочим: $0,2,3,3,5,5,7,7,9,10,12,13$ — 6-е и 7-е числа $5$ и $7$, медиана $6$; моды три: $3$, $5$, $7$.
2. Длины рек (км): 492, 1439, 1600, 1186, 420. Медиана, размах, мода? По возрастанию $420,492,1186,1439,1600$; медиана $1186$; размах $1180$; моды нет.
3. Магазин продал за 4 сезона 400, 500, 300, 100 пальто. Среднее и медиана? Среднее $1300:4=325$; упорядочим $100,300,400,500$ — медиана $(300+400):2=350$.
4. Лодка шла 2 ч по течению со скоростью 22,3 км/ч и 3 ч против течения со скоростью 16,7 км/ч. Средняя скорость? Путь $44{,}6+50{,}1=94{,}7$ км, время $5$ ч; $v_{\text{ср}}=18{,}94$ км/ч (а не $(22{,}3+16{,}7):2=19{,}5$).
5. Баллы фигуриста: 5,4; 5,2; 5,7; 5,3; 5,5; 5,6; 5,2; 5,6. Медиана? По возрастанию: $5{,}2;5{,}2;5{,}3;5{,}4;5{,}5;5{,}6;5{,}6;5{,}7$; медиана $(5{,}4+5{,}5):2=5{,}45$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Ищут медиану в неупорядоченном ряду.
• При чётном количестве берут одно из двух средних чисел.
• Считают размах суммой наибольшего и наименьшего.
• За моду принимают число повторений, а не само значение.
• В ряду с частотами делят на число различных значений.
• Среднюю скорость находят как среднее арифметическое скоростей при разных временах.

Самопроверка

1. Очки 13, 13, 12, 13, 10, 13, 12, 10. Среднее? — $96:8=12$.
2. Температуры 3, 4, 5, 8, 6, 4, 7 °С. Размах? — $8-3=5$ °С.
3. Ряд 3,5; 4; 2,6; 3,5; 2,8; 3,5; 2,9. Мода? — 3,5.
4. Продажи платьев 200, 100, 200, 500. Среднее, медиана, мода? — 250; 200; 200.
5. Самолёт летел 1,5 ч со скоростью 900 км/ч и 0,4 ч — 850 км/ч. Средняя скорость? — $1690:1{,}9\approx889{,}5$ км/ч.