Логические задачи на вычисление процентов

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 112, 114, 117–127, 130, 165–169

Главное

• $1\%=\dfrac1{100}=0{,}01$ числа. Сначала решите, что принято за 100%.
• Процент от числа — умножение, число по проценту — деление, процентное отношение — $\dfrac ab\cdot100\%$.
• «На $P\%$ больше» — $(100+P)\%$, «на $P\%$ меньше» — $(100-P)\%$.
• Последовательные изменения в процентах не складываются: второй процент считают от нового значения.
• На круговой диаграмме $100\%=360^\circ$, $1\%=3{,}6^\circ$.

Теория

Три основные задачи на проценты.

Дано	Найти	Формула
число $a$ и $P\%$	$P\%$ от $a$	$b=a\cdot\dfrac P{100}$
часть $b$, равная $P\%$	всё число	$a=b:\dfrac P{100}$
числа $a$ и $b$	сколько % $a$ от $b$	$\dfrac ab\cdot100\%$

Через пропорцию: целое — 100%, часть — $P\%$. Например, 480 учеников — 60%: $x=480\cdot100:60=800$.

Последовательные изменения. Урожай 75 ц вырос на 20% ($90$ ц), затем ещё на 15%: $90\cdot1{,}15=103{,}5$ ц, а не $75\cdot1{,}35$. Вклад под $5\%$ годовых: $3\,750\,000\cdot1{,}05=3\,937\,500$ тг через год.

Диаграммы.

• Столбчатая — столбики одинаковой ширины, высота по масштабу (например, 1 см = 1000 км); удобна для сравнения величин.
• Круговая — доли целого; угол сектора $=P\cdot3{,}6^\circ$.
• Линейная (график) — изменение величины во времени.

Чтение таблицы/диаграммы: название и единицы → шаг (например, измерения каждые 2 ч) → нужное значение → дополнительный расчёт (разность, сумма, процент).

Примеры

1. После уценки на 10% холодильник стоит 72 900 тг. Первоначальная цена? $72\,900$ тг — это $90\%$: $72\,900:0{,}9=81\,000$ тг (делить на $0{,}1$ — ошибка).
2. Турист проехал 74% пути, осталось 65 км. Длина пути? Осталось $26\%$: $65:0{,}26=250$ км.
3. В селе 620 домов: собака есть в 80% домов, кошка — в 50%. В каждом доме есть хотя бы одно животное. В скольких домах есть и собака, и кошка? Собаки $496$, кошки $310$; $496+310-620=186$ домов.
4. Число 145 увеличили на 60%, затем взяли 25% результата. Что получили? $145\cdot1{,}6=232$; $232\cdot0{,}25=58$.
5. Круговая диаграмма сплава: медь 15%, олово 60%, остальное — сурьма. Углы секторов? Сурьма $25\%$; медь $54^\circ$, олово $216^\circ$, сурьма $90^\circ$ (сумма $360^\circ$).
6. По таблице температуры (замеры каждые 2 ч): максимум 13 °C в 14 ч, в 24 ч — 3 °C. На сколько упала температура с 14 до 24 ч? На $10$ °C.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают, что $+20\%$ и $+15\%$ дают $+35\%$; второй процент берут от исходного значения.
• При повышении цены на 12% умножают на $0{,}12$ (получают только надбавку), а не на $1{,}12$.
• Находят число по проценту умножением: $560\cdot0{,}7$ вместо $560:0{,}7$.
• За 100% берут не то число: «сколько % 15 от 60» — делят на 60, ответ 25%.
• На круговой диаграмме принимают целое за $180^\circ$.
• Строят или читают столбики без учёта масштаба.

Самопроверка

1. Цена 58 000 тг снижена на 15%. Новая цена? — $58\,000\cdot0{,}85=49\,300$ тг.
2. Сколько процентов число 60 составляет от 15? — 400%.
3. Ширина 6 см, длина на 75% больше. Площадь прямоугольника? — Длина $10{,}5$ см, площадь $63$ см².
4. Число, 140% которого равны 182? — $182:1{,}4=130$.
5. Столбик пика Хан Тәңірі на диаграмме с масштабом 1 см = 1500 м имеет высоту около 4,7 см. Какова высота пика? — Около 7000 м.