Логические задачи на применение текстовых задач с помощью уравнений и составлением

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 23, 41, 42, 46, 47, 49–53, 63, 209
• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 2, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 62, 63
• Шыныбеков А. Н., Шыныбеков Д. А., Амалбекова Л. Е. «Алгебра», 7 класс, Атамура, 2025, с. 162, 163, 165
• Абылкасымова А. Е., Кучер Т., Корчевский В., Жумагулова З. «Алгебра», 8 класс, Мектеп, 2018, с. 101–103

Главное

• Выражение или уравнение по условию — математическая модель задачи.
• Три этапа: составить модель → решить её → проверить ответ по смыслу условия.
• «В $a$ раз больше» — $ax$; «на $a$ больше» — $x+a$; «на $a$ меньше» — $x-a$.
• Корень, не подходящий по смыслу (отрицательная длина, дробное число людей), отбрасывают.
• Корень уравнения — не всегда ответ: часто спрашивают другую величину.

Теория

Буквенное выражение. Неизвестную или меняющуюся величину обозначают буквой, остальные выражают через неё. Гирлянда: $x$ красных, $2x$ синих, $6x$ зелёных, $6x-10$ жёлтых — всего $15x-10$; при $x=7$ это $95$ шаров. Другой пример: 33 дерева посажены на расстоянии $n$ м — промежутков 32, расстояние между крайними $32n$.

Составление уравнения:

1. Обозначить неизвестное (с единицей измерения).
2. Выразить остальные величины через него.
3. Приравнять две записи одной и той же величины; решить.
4. Проверить корень по условию и ответить на вопрос.

Типовые модели.

Тип	Модель
Движение	$S=vt$; навстречу $v_1+v_2$, вдогонку $v_1-v_2$
По реке	по течению $v+c$, против $v-c$
Возраст	возраст всех растёт на одно и то же $t$
Части	всё через одну часть: $x$, $3x$, $3x+17$…
Площадь	$x(x+a)=S$ — квадратное уравнение

Система нужна, когда неизвестных два и в условии два соотношения. Неравенство — при словах «не меньше», «не больше», «не превышает»; ответ — промежуток, из которого выбирают значения по смыслу.

Примеры

1. В саду 37 кустов: смородины $x$, крыжовника на 3 больше, малины вдвое больше, чем крыжовника. Сколько кустов малины? $x+(x+3)+2(x+3)=37\Rightarrow4x+9=37\Rightarrow x=7$; крыжовник 10, малина $20$. Ответ: 20 (а не 7 — спрашивают малину).
2. Отцу 31 год, сыну 5. Через сколько лет отец будет втрое старше сына? $31+x=3(5+x)\Rightarrow x=8$. Проверка: $39=3\cdot13$.
3. Катер по течению идёт со скоростью 25,8 км/ч, против — 21,2 км/ч. Найдите собственную скорость и скорость течения. $v+c=25{,}8$, $v-c=21{,}2$. Складываем: $2v=47$, $v=23{,}5$ км/ч, $c=2{,}3$ км/ч.
4. 2 коробки конфет и 2 пачки орехов весят 1,1 кг, 5 коробок и 3 пачки — 2,15 кг. Масса коробки конфет? Из первого $c+o=0{,}55$, тогда $3c+3o=1{,}65$, $2c=2{,}15-1{,}65=0{,}5$, $c=0{,}25$ кг $=250$ г, $o=300$ г.
5. Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь 40 см². Найдите стороны. $x(x+3)=40\Rightarrow x^2+3x-40=0$, корни $5$ и $-8$; подходит $5$. Стороны 5 см и 8 см.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Путают «в 3 раза больше» и «на 3 больше» ($3x$ и $x+3$).
• При упрощении теряют свободный член: $x+2x+6x+(6x-10)\ne15x$.
• Вдогонку складывают скорости, навстречу — вычитают (наоборот).
• Не отбрасывают отрицательный корень квадратного уравнения.
• Отвечают значением $x$, хотя вопрос о другой величине.
• 60 минут разницы во времени подставляют как 60, а не как 1 ч.

Самопроверка

1. Брат на 5 лет старше сестры, через 4 года сумма их возрастов будет 19. Сколько лет сестре? — $(x+4)+(x+9)=19$, $x=3$.
2. Разность двух чисел 40, одно втрое больше другого. Меньшее число? — $3x-x=40$, $x=20$.
3. 3 мухи и 2 паука имеют 34 лапки, 2 мухи и 2 паука — 28. Сколько лапок у паука? — У мухи $34-28=6$, у паука $(28-12):2=8$.
4. Ученик прочёл 28 страниц, до середины книги осталось $a$ страниц. Сколько страниц в книге? — $2(28+a)$; при $a=15$ — 86.
5. Ширина комнаты $x$: $1{,}5x^2+7{,}2x=56{,}7$ даёт корни $4{,}2$ и $-9$. Какая ширина? — $4{,}2$ м; $-9$ не подходит по смыслу.