Логические задания в которых присутствуют числовые значения

Учебниковая опора

• Алдамуратова Т. А., Байшоланова К. С., Байшоланов Е. С. «Математика», часть 1, 5 класс, Атамұра, 2017, с. 22, 23, 26, 27, 36–38, 83–89, 91, 102, 103, 105, 106, 108–115

Главное

• Порядок действий: скобки (с внутренних) → умножение и деление → сложение и вычитание; действия одной ступени — слева направо.
• Признаки делимости отвечают на вопрос «может ли так быть?» без деления.
• НОД — «наибольшее число одинаковых частей/наборов», НОК — «через сколько снова совпадут», «наименьшая общая длина».
• В текстовой задаче на каждом шаге называйте, какую величину нашли, и в конце сверяйте ответ с вопросом.
• При совместной работе складывают производительности, при встречном движении — скорости.

Теория

Порядок действий. Сложение и вычитание — действия первой ступени, умножение и деление — второй.

1. Без скобок, одна ступень — слева направо.
2. Без скобок, обе ступени — сначала вторая, потом первая.
3. Со скобками — сначала выражения в скобках, начиная с внутренних.

Свойства действий упрощают счёт: $45\cdot6+32\cdot6=(45+32)\cdot6=462$; $68\cdot5-42\cdot5=(68-42)\cdot5=130$; $61\cdot20\cdot5=61\cdot100=6100$.

Признаки делимости.

Делитель	Признак
2	запись оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8)
5	оканчивается на 0 или 5
10	оканчивается на 0
3	сумма цифр делится на 3
9	сумма цифр делится на 9
6	делится и на 2, и на 3

Обоснование: $100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)$, а $99a$ и $9b$ делятся на 9 (и на 3). Так как $10=2\cdot5$, число, делящееся на 10, делится и на 2, и на 5.

НОД и НОК. Раскладывают числа на простые множители. НОД — произведение общих множителей с наименьшими показателями; НОК — все множители с наибольшими показателями. Если меньшее число — делитель остальных, оно и есть НОД; если большее делится на остальные — оно НОК. Для взаимно простых чисел НОК равен произведению. Полезно: $\text{НОД}(a,b)\cdot\text{НОК}(a,b)=a\cdot b$ (например, $12\cdot120=24\cdot60=1440$).

Текстовая задача: что известно и что найти → выбор действия («на … больше» — сложение, «на … меньше» — вычитание, «поровну» — деление) → вычисление → проверка обратным действием и здравым смыслом.

Примеры

1. Самосвал должен перевезти 35 т, 21 т и 14 т песка, каждый раз одинаковую и наибольшую возможную массу. Сколько тонн за рейс и сколько рейсов? $\text{НОД}(35,21,14)=7$ т; рейсов $35:7=5$, $21:7=3$, $14:7=2$, всего 10.
2. Три машины выехали вместе в 8 ч; они возвращаются на базу через каждые 3, 4 и 6 ч. Когда снова встретятся? $\text{НОК}(3,4,6)=12$ ч, $8+12=20$. Ответ: в 20 ч.
3. Шестерни имеют 54 и 90 зубьев. Через сколько оборотов первой шестерни они вернутся в исходное положение? $54=2\cdot3^3$, $90=2\cdot3^2\cdot5$, $\text{НОК}=2\cdot3^3\cdot5=270$ зубьев; первая сделает $270:54=5$ оборотов.
4. Бассейн объёмом 620 м³ наполняют два крана: 85 м³/ч и 70 м³/ч. За сколько часов? Вместе $85+70=155$ м³/ч; $620:155=4$ ч.
5. Между городами 144 км. Навстречу друг другу выехали велосипедист (12 км/ч) и мотоциклист (36 км/ч). Через сколько часов встреча? Скорость сближения $48$ км/ч; $144:48=3$ ч.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают строго слева направо: $6+4\cdot2=20$ вместо 14.
• Путают НОД и НОК: в задаче «через сколько встретятся» берут НОД.
• Берут произведение чисел вместо НОК, когда числа не взаимно просты: $\text{НОК}(56,60)=840$, а не $3360$.
• Находят НОД и забывают ответить на вопрос «сколько в каждом наборе».
• Думают, что любое число, делящееся на 3, делится и на 9 (273 на 9 не делится).
• В задаче «на 110 км меньше» складывают вместо вычитания.

Самопроверка

1. Делится ли 9468 на 9? — Да: $9+4+6+8=27$.
2. Пол $525\times325$ см выкладывают одинаковыми квадратными плитками наибольшего размера. Сторона плитки и число плиток? — 25 см; $21\cdot13=273$ плитки.
3. Марка стоит 45 тг, есть только монеты по 20 тг (сдачи нет). Какое наименьшее число марок можно купить? — $\text{НОК}(45,20)=180$ тг, то есть 4 марки.
4. Чему равно $1176:98+196\cdot5$? — $12+980=992$.
5. Дети пробегают круг за 4, 3 и 6 мин, стартовав вместе. Через сколько минут они снова будут на старте одновременно? — Через 12 мин.