Динамика

Учебниковая опора

• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 9 класс», 9 класс, Арман-ПВ, 2019, с. 83–89, 91–99, 101, 107–110, 114–115, 117, 263
• Кронгарт Б., Казахбаева Д., Иманбеков О., Кыстаубаев Т. «Физика. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 69–85

Главное

• Первый закон Ньютона: существуют системы отсчёта (инерциальные), в которых тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если силы на него не действуют или скомпенсированы.
• Второй закон: $\vec a = \dfrac{\vec F}{m}$ — ускорение пропорционально равнодействующей и обратно пропорционально массе; направлено как равнодействующая.
• Третий закон: $\vec F_1 = -\vec F_2$ — силы равны по модулю, противоположны, приложены к разным телам, одной природы.
• Масса — мера инертности, она аддитивна.
• Вес — сила действия тела на опору или подвес; сила тяжести приложена к телу, вес — к опоре.
• Закон всемирного тяготения: $F = G\dfrac{m_1 m_2}{r^2}$, $G = 6{,}674\cdot10^{-11}$ Н·м²/кг².

Теория

Силы в механике. Сила тяжести $F = mg$ (вертикально вниз); сила упругости $F = kx$ (закон Гука, против деформации); нормальная реакция $N$ (перпендикулярно опоре); сила трения $F_{тр} = \mu N$ (против относительного движения). Все взаимодействия сводятся к четырём фундаментальным: гравитационному, электромагнитному, сильному, слабому.

Сложение сил. $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos\alpha}$; при $0^\circ$ $R = F_1 + F_2$, при $90^\circ$ $R = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}$, при $180^\circ$ $R = |F_1 - F_2|$, две равные силы под $120^\circ$ дают $R = F$.

Алгоритм задачи динамики: выбрать ИСО и оси (одна — вдоль движения); изобразить все силы; записать $ma_x = \sum F_x$, $ma_y = \sum F_y$; решить систему, проверить размерность. При равномерном движении $\sum \vec F = 0$: на горизонтальной поверхности $N = mg$, сила тяги равна силе трения.

Наклонная плоскость (угол $\alpha$, коэффициент $\mu$): $a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$; тело покоится, если $\mu \ge \tan\alpha$.

Третий закон и ускорения. $m_1 a_1 = m_2 a_2 \Rightarrow \dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{m_2}{m_1}$. Внутренние силы системы попарно компенсируются и не меняют её импульса.

Вес при ускорении. Ускорение вверх: $P = m(g + a)$; вниз: $P = m(g - a)$; при свободном падении $P = 0$ (невесомость). Перегрузка $k = P/(mg) = 1 + a/g$. В верхней точке выпуклого моста $P = m\left(g - \dfrac{v^2}{R}\right)$.

Гравитационное поле. Напряжённость $g(r) = \dfrac{GM}{r^2}$; на высоте $h$: $g(h) = g_0\left(\dfrac{R}{R+h}\right)^2$. Потенциал $\varphi = -\dfrac{GM}{r}$, потенциальная энергия $W_p = -\dfrac{GMm}{r}$.

Космические скорости. На круговой орбите тяготение — центростремительная сила: $\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{mv^2}{R}$, отсюда $v_1 = \sqrt{GM/R} = \sqrt{gR} \approx 7{,}9$ км/с (Земля). Вторая $v_2 = v_1\sqrt2 \approx 11{,}2$ км/с. У Луны $v_1 \approx 1{,}7$ км/с, у Марса $\approx 3{,}6$ км/с. Для орбиты на высоте $h$ радиус заменяют на $R + h$.

Динамика вращения. Момент силы $M = Fd$ ($d$ — плечо); момент инерции $I = \sum m_i r_i^2$: диск $\frac12 mR^2$, стержень относительно центра $\frac1{12} mL^2$, шар $\frac25 mR^2$. Теорема Штейнера: $I = I_0 + md^2$. Основное уравнение: $M = I\varepsilon = \dfrac{dL}{dt}$, $L = I\omega$.

Примеры

1. Тормозящая сила. Поезд 500 т снизил скорость с 40 до 28 км/ч за 1 мин: $\Delta v = 3{,}33$ м/с, $a \approx 0{,}0556$ м/с², $F = ma \approx 28$ кН.
2. Наклонная плоскость. $\alpha = 30^\circ$, $\mu = 0{,}3$, $g = 10$ м/с²: $a = 10(0{,}5 - 0{,}3\cdot0{,}866) \approx 2{,}4$ м/с².
3. Вес на мосту. Автомобиль 3 т, мост $R = 50$ м, $v = 10$ м/с: $P = 3000(10 - 100/50) = 24$ кН.
4. Тяготение на высоте. На высоте $h = R_З$: $g = g_0/4 = 2{,}45$ м/с².
5. Штейнер. Стержень 1,2 кг, 1 м, ось через конец: $I = 0{,}1 + 1{,}2\cdot0{,}25 = 0{,}4$ кг·м² $= \frac13 mL^2$.

Типичные ошибки на ЕНТ

• «Без силы тело обязательно покоится» — нет, может двигаться равномерно прямолинейно.
• Применяют второй закон к одной силе вместо равнодействующей.
• Считают, что силы третьего закона уравновешивают друг друга — они приложены к разным телам.
• Думают, что тело большей массы действует с большей силой.
• Считают вес всегда равным $mg$; путают знак $a$ в формуле веса.
• Считают, что $v_1$ зависит от массы спутника — только от массы и радиуса планеты; подставляют $R$ вместо $R + h$.

Самопроверка

1. Двое отталкиваются с силой 10 Н, массы 40 и 50 кг. Ускорения? — 0,25 и 0,2 м/с².
2. Космонавт 75 кг, ракета стартует с $a = 5$ м/с² ($g = 10$). Вес? — $P = 75\cdot15 = 1125$ Н.
3. Тело движется равномерно под силой 4 Н при $\mu = 0{,}2$, $g = 10$. Масса? — 2 кг.
4. Во сколько раз $v_2$ больше $v_1$? — В $\sqrt2$ раз.
5. Две силы 9 Н и 12 Н под прямым углом. Равнодействующая? — 15 Н.