Кинематика

Учебниковая опора

• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 9 класс», 9 класс, Арман-ПВ, 2019, с. 32–34, 40–41, 112–113
• Кронгарт Б., Казахбаева Д., Иманбеков О., Кыстаубаев Т. «Физика. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 25–31, 39–59

Главное

• Равноускоренное движение — движение с постоянным вектором ускорения $\vec a = \text{const}$.
• График $v_x(t)$ — прямая, тангенс её наклона равен $a_x$; площадь под графиком $v_x(t)$ равна перемещению.
• График $x(t)$ при $a \ne 0$ — парабола.
• Свободное падение — движение только под действием силы тяжести; все тела в вакууме падают с одним ускорением $g \approx 9{,}8$ м/с² (в задачах часто $g = 10$ м/с²).
• Относительные величины (координата, скорость, траектория, кинетическая энергия) зависят от системы отсчёта; инвариантные (длина, промежуток времени, масса, ускорение, сила) — нет.
• При криволинейном движении скорость направлена по касательной, полное ускорение раскладывается на тангенциальное и нормальное.

Теория

Уравнения равноускоренного движения. Перемещение находят как площадь трапеции под графиком скорости с основаниями $v_{0x}$, $v_x$ и высотой $t$: $s_x = v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2}.$ Полная система: $v_x = v_{0x} + a_x t$; $x = x_0 + v_{0x}t + \dfrac{a_x t^2}{2}$; $s_x = \dfrac{v_x + v_{0x}}{2}\,t$; $v_x^2 - v_{0x}^2 = 2 a_x s_x$. Средняя скорость $v_{ср} = \dfrac{v_0 + v}{2}$ — только при постоянном ускорении и без разворота.

Сложение скоростей. Принцип относительности Галилея. Скорость тела относительно неподвижной системы равна векторной сумме скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы: $\vec v = \vec v\,' + \vec u$. Ускорение при этом одинаково в обеих ИСО: $\vec a = \vec a\,'$. ИСО — система, где свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно; любая система, движущаяся относительно ИСО равномерно и прямолинейно, тоже ИСО. Принцип Галилея: никакими механическими опытами внутри замкнутой ИСО нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно. Пример: мяч, подброшенный в вагоне, летит по вертикальному отрезку для пассажира и по параболе для наблюдателя на перроне.

Свободное падение и бросок вверх. Ось вниз: $v = gt$, $h = \dfrac{gt^2}{2}$, $v = \sqrt{2gh}$, $t = \sqrt{2h/g}$. Бросок вверх (ось вверх): $v = v_0 - gt$, $h = v_0 t - \dfrac{gt^2}{2}$, $h_{max} = \dfrac{v_0^2}{2g}$, $t_{под} = t_{оп} = \dfrac{v_0}{g}$. В верхней точке $v = 0$, но ускорение по-прежнему $g$. У Луны $g \approx 1{,}6$ м/с².

Горизонтальный бросок. Два независимых движения: равномерное по $Ox$ ($x = v_0 t$) и свободное падение по $Oy$ ($y = gt^2/2$, $v_y = gt$). Время полёта $t = \sqrt{2h/g}$ зависит только от высоты; дальность $l = v_0\sqrt{2h/g}$; скорость $v = \sqrt{v_0^2 + (gt)^2}$. Траектория — ветвь параболы.

Бросок под углом $\alpha$ к горизонту. $v_x = v_0\cos\alpha = \text{const}$, $x = v_0 t\cos\alpha$; $v_y = v_0\sin\alpha - gt$, $y = v_0 t \sin\alpha - \dfrac{gt^2}{2}$. В вершине скорость горизонтальна и равна $v_0\cos\alpha$, всё ускорение $g$ — нормальное, радиус кривизны $R = \dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{g}$.

Криволинейное движение. $\vec a = \vec a_\tau + \vec a_n$. Тангенциальное ускорение $a_\tau = \dfrac{dv}{dt}$ меняет скорость по модулю; нормальное (центростремительное) $a_n = \dfrac{v^2}{R} = \omega^2 R$ — по направлению и направлено к центру кривизны; $a = \sqrt{a_\tau^2 + a_n^2}$.

Движение по окружности. $v = \omega R$, $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi\nu$, $v = \dfrac{2\pi R}{T}$, угол $\varphi = l/R$ (в радианах). У всех точек вращающегося тела одинаковы $T$, $\nu$, $\omega$, но $v$ больше у точек, дальше от оси. Угловое ускорение $\varepsilon = d\omega/dt$, $a_\tau = \varepsilon R$.

Формулы

Величина	Формула
Время подъёма (бросок под углом)	$t_{под} = \dfrac{v_0\sin\alpha}{g}$
Время полёта	$T = \dfrac{2v_0\sin\alpha}{g}$
Максимальная высота	$H = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$
Дальность	$L = \dfrac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$; максимум при $\alpha = 45^\circ$: $L_{max} = \dfrac{v_0^2}{g}$
Тормозной путь	$s = \dfrac{v_0^2}{2a}$
Время падения с высоты $h$	$t = \sqrt{2h/g}$

Примеры

1. Торможение. Поезд тормозит со скорости 72 км/ч = 20 м/с с ускорением 0,5 м/с². Время до остановки $t = v_0/a = 40$ с, путь $s = v_0^2/(2a) = 400$ м. Проверка: $v_{ср} = 10$ м/с, $10 \cdot 40 = 400$ м.
2. Бросок под углом. $v_0 = 100$ м/с, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$ м/с². $T = \dfrac{2\cdot100\cdot0{,}5}{10} = 10$ с; $H = \dfrac{50^2}{20} = 125$ м; $L = \dfrac{100^2 \sin 60^\circ}{10} \approx 866$ м.
3. Горизонтальный бросок. С высоты 20 м со скоростью 15 м/с: $t = \sqrt{2\cdot20/10} = 2$ с, $l = 15\cdot2 = 30$ м.
4. Полное ускорение. Точка на окружности $R = 2$ м, $a_\tau = 3$ м/с², $v_0 = 0$. Через 2 с $v = 6$ м/с, $a_n = 36/2 = 18$ м/с², $a = \sqrt{9 + 324} \approx 18{,}25$ м/с².

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают, что в верхней точке траектории ускорение равно нулю — оно равно $g$.
• Думают, что большая горизонтальная скорость увеличивает время полёта: при горизонтальном броске время зависит только от высоты.
• Складывают $v_0$ и $v_y$ арифметически, хотя эти векторы перпендикулярны.
• Применяют $v_{ср} = (v_0 + v)/2$ к движению с разворотом или с переменным ускорением.
• Считают, что угловая скорость точек одного колеса зависит от радиуса: одинакова $\omega$, различается $v$.
• Путают градусы и радианы в формуле $\varphi = l/R$; переводят об/мин в рад/с без множителя $2\pi$ и деления на 60.

Самопроверка

1. Какая фигура на графике $v(t)$ соответствует пути при равноускоренном движении? — Трапеция под графиком; её площадь равна перемещению.
2. Тело брошено вверх со скоростью 20 м/с ($g = 10$ м/с²). Высота подъёма? — $h = 20^2/20 = 20$ м, время подъёма 2 с.
3. Какие величины инвариантны в классической механике? — Длина, промежуток времени, масса, ускорение, сила.
4. При каком угле бросания дальность максимальна (без сопротивления воздуха)? — $45^\circ$.
5. Колесо $R = 0{,}3$ м вращается с частотой 5 Гц. Скорость точек обода? — $\omega = 31{,}4$ рад/с, $v = \omega R \approx 9{,}42$ м/с.