Законы сохранения

Учебниковая опора

• Кронгарт Б. А., Даданбеков Е. Е., Токбергенова У. К. «Физика. 7 класс», 7 класс, Мектеп, 2025, с. 165–166
• Закирова Н. А., Аширов Р. Р. «Физика. 9 класс», 9 класс, Арман-ПВ, 2019, с. 120–127, 129–139
• Кронгарт Б., Казахбаева Д., Иманбеков О., Кыстаубаев Т. «Физика. 10 класс ЕМН», 10 класс, Мектеп, 2019, с. 60–68, 77–85

Главное

• Импульс тела $\vec p = m\vec v$ (кг·м/с) — вектор, направлен как скорость. Импульс силы $\vec F\Delta t$ (Н·с).
• Второй закон в импульсной форме: $\vec F\Delta t = \Delta\vec p$.
• Закон сохранения импульса: в замкнутой системе ($\sum \vec F_{внеш} = 0$) $\sum m_i\vec v_i = \text{const}$.
• Работа $A = Fs\cos\alpha$ (Дж); мощность $N = A/t = Fv$ (Вт).
• Теорема о кинетической энергии: $A = E_{k2} - E_{k1}$.
• Закон сохранения механической энергии: при действии только сил тяжести и упругости $E_k + E_p = \text{const}$; трение переводит механическую энергию во внутреннюю.

Теория

Импульс. Одна и та же сила за разное время даёт разное изменение импульса, поэтому подушки безопасности и маты увеличивают время торможения и уменьшают силу удара. При развороте тела $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$. В проекциях: $F_x\Delta t = mv_x - mv_{0x}$.

Сохранение импульса следует из третьего закона Ньютона: $\Delta\vec p_2 = -\Delta\vec p_1$. Для двух тел: $m_1\vec v_{01} + m_2\vec v_{02} = m_1\vec v_1 + m_2\vec v_2$. Неупругий удар (тела движутся вместе): $m_1v_{01} + m_2v_{02} = (m_1 + m_2)v$; кинетическая энергия при этом не сохраняется. На Земле систему считают замкнутой, если внешние силы скомпенсированы или много меньше сил взаимодействия (выстрел, взрыв).

Реактивное движение — движение из-за отделения части тела с некоторой скоростью. Из $0 = (M - m)\vec v_1 + m\vec v$: $v_1 = \dfrac{m}{M - m}v$. Для ракеты $v = \dfrac{m_т}{M - m_т}v_г$: скорость тем больше, чем больше доля топлива и скорость истечения газов. Ракета не опирается на воздух — она взаимодействует со своей струёй. Многоступенчатые ракеты предложил К. Э. Циолковский; доля топлива у современных ракет достигает 90 %.

Работа. $A = Fs\cos\alpha$: при $\alpha = 0^\circ$ $A > 0$, при $90^\circ$ $A = 0$, при $180^\circ$ (трение скольжения) $A < 0$. На графике $F(s)$ работа равна площади под графиком. Работа силы тяжести $A = -mg(h_2 - h_1)$ не зависит от формы пути; работа силы упругости $A = \dfrac{k}{2}(x_2^2 - x_1^2)$ по модулю.

Энергия. $E_k = \dfrac{mv^2}{2}$, $E_p = mgh$ (тело над Землёй), $E_p = \dfrac{kx^2}{2}$ (пружина). Работа силы тяжести/упругости равна убыли потенциальной энергии. Нулевой уровень $E_p$ выбирают один раз на всю задачу.

Сохранение энергии: $\dfrac{mv_1^2}{2} + mgh_1 = \dfrac{mv_2^2}{2} + mgh_2$. При трении $A_{тр} = \Delta E$ — механическая энергия переходит в тепло $Q$. Энергия не исчезает, а превращается из одного вида в другой.

Мощность. $N = A/t$, 1 Вт = 1 Дж/с; при равномерном движении под постоянной силой $N = Fv$.

Вращение. Момент импульса $L = I\omega$; $M = \dfrac{dL}{dt}$, поэтому при нулевом суммарном моменте внешних сил момент импульса сохраняется. Аналогии: $m \leftrightarrow I$, $F \leftrightarrow M$, $v \leftrightarrow \omega$, $p \leftrightarrow L$.

Примеры

1. Пуля и брусок (неупругий удар). $m = 0{,}01$ кг, $v = 400$ м/с, $M = 1{,}99$ кг: $u = \dfrac{0{,}01\cdot400}{2} = 2$ м/с. $E_{k1} = 800$ Дж, $E_{k2} = 4$ Дж, тепло $Q = 796$ Дж.
2. Человек и тележка. Человек 60 кг (5 м/с) вскакивает на тележку 20 кг (1 м/с, в ту же сторону): $v = \dfrac{300 + 20}{80} = 4$ м/с.
3. Скатывание без трения. С высоты 0,8 м: $v = \sqrt{2gh} = 4$ м/с — от массы не зависит.
4. Сопротивление воздуха. Камень 2 кг падает с 10 м и у земли имеет 12 м/с: $A = mgh - \dfrac{mv^2}{2} = 196 - 144 = 52$ Дж.

Типичные ошибки на ЕНТ

• Считают импульс скаляром и складывают модули вместо векторов; теряют знаки проекций.
• Считают, что при неупругом ударе сохраняется кинетическая энергия.
• Думают, что ракета отталкивается от воздуха; в знаменатель берут массу ракеты вместе с топливом.
• Не учитывают угол между силой и перемещением; забывают, что работа может быть отрицательной.
• Записывают равенство полных механических энергий, когда есть трение.
• Забывают множитель $\frac12$ в $kx^2/2$ и меняют нулевой уровень $E_p$ посреди решения.

Самопроверка

1. Тело 6 кг за 3 с изменило скорость с 4 до 10 м/с. Средняя сила? — $\Delta p = 36$ кг·м/с, $F = 12$ Н.
2. Тележка 1 кг (4 м/с) сцепляется с покоящейся 3 кг. Общая скорость? — 1 м/с.
3. Чему равна работа силы, перпендикулярной перемещению? — Нулю.
4. Сила тяги 200 Н, скорость 2 м/с. Мощность? — 400 Вт.
5. Мяч 0,25 кг имеет $E_k = 49$ Дж. На какой высоте $E_k = E_p$ ($g = 9{,}8$)? — 10 м.